Chuyên mục: Học như thế nào ?

Kỳ I: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NHƯ THẾ NÀO ?

Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, trước hết cần hiểu thế nào là một tứ giác nội tiếp đường tròn; biết có những tứ giác nào nội tiếp được, tứ giác nào không nội tiếp được và điều cơ bản là phải nắm được điều kiện để một tứ giác nội tiếp được một đường tròn. Sau đó ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo, một trong các phương pháp chủ yếu sau:
Phường pháp 1: Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung.
Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh huyền chung thì ta có thể chứng minh đa giác tạo thành bởi các đỉnh của các tam giác đó nội tiếp trong đường tròn.
Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng xy không cắt đường tròn đó. Từ O hạ OA vuông góc xy (A
xy); từ A kẻ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C; tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt xy ở D và E. Chứng minh các tứ giác ODAB và OCEA nội tiếp được.
Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vuông góc với BD (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm ) => góc OBD = 900 và có thêm góc OAD = 900 (gt) => tứ giác ODAB nội tiếp (A và B nhìn đoạn OD dưới góc 900 không đổi).
Dễ dàng chỉ ra được tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này là trung điểm của DO.
-Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp được
Hãy giải tương tự 3 bài tập sau:
a) Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của đường tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm M, A, O, I, B thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng nếu từ một điểm vẽ các tiếp tuyến với hai đường tròn đồng tâm thì tất cả các tiếp điểm tạo thành một tứ giác nội tiếp.
c) Bài tập 97 (trang 105 SGK Toán 9 tập 2).
Phương pháp 2: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn (định lý trang 88 SGK Toán 9 tập 2). Hay nếu một tứ giác có một góc ngoài bằng góc trong đối diện với góc kề của nó thì tứ giác đó nội tiếp được.
Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A kẻ hai dây cung AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G. Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp được.
Gợi ý:
Cách 1: Để chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp được ta cần chúng minh góc D + góc G1 = 1800. Vậy thử xét quan hệ giữa tổng số đo hai góc này với số đo các cung có liên quan như thế nào ? Ta có góc D =
sđ cung AE (số đo góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung CE) : 2 (vì C thuộc cung AE) (1). Còn góc G1 = (sđ cung AC + sđ cung BDE) : 2 (G là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) => góc G1 = (sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : 2 = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : 2 (vì cung AB = cung AC) (2). Cộng từng vế (1) và (2) ta có góc D + góc G1 = 3600 : 2 = 1800 = > DFGE nội tiếp được.
Cách 2: Ta có thể chứng minh góc D = góc G2 mà góc G1 + G2 = 1800 (hai góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh.
Các em có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58 (SGK Toán 9 tập 2).
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B ở E và F, cắt đường tròn ở C và D. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được.
Để chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được ta cần chứng minh góc E2 + góc D2 = 1800 là được nhưng góc D1 + góc D2 = 1800 (hai góc kề bù). Vậy chỉ cần chứng minh góc E2 = góc D1
Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Như vậy cần chứng minh góc E2 = góc B1 là được. Dễ thấy hai góc này cùng phụ với góc A1 (do góc ACB = 900 và góc ABE = 900).

(Còn nữa..................................................)